旋转

旋转使用单位四元数 $q$ 表示。四元数 $q$ 与 $- q$ 表示同一朝向；球面插值时取点积非负的表示，以选取两者之间的短弧。

球面线性插值

两个单位四元数之间使用球面线性插值（slerp）：

slerp (q_{a}, q_{b}, λ) = q_{a} {(q_{a}^{- 1} q_{b})}^{λ}, λ \in [0, 1]

它沿单位四元数球面上的短弧运动。若 $λ$ 随时间线性变化，旋转角沿该弧线性变化。

追赶算法以上一帧输出 $q_{k - 1}$ 为插值起点，朝第 $k$ 帧目标 $q_{T}^{(k)}$ 旋转：

q_{k} = slerp (q_{k - 1}, q_{T}^{(k)}, c_{k})

其中：

c_{k} = \frac{p_{k} - p_{k - 1}}{1 - p_{k - 1}}

并将 $c_{k}$ 限制在 $[0, 1]$ 内。

若目标保持不变，递推结果等价于：

q_{k} = slerp (q_{0}, q_{T}, p_{k})

目标不变时，递推结果可化为从 $q_{0}$ 到 $q_{T}$ 的一次球面插值；目标变化时，每次插值的终点取当前帧的 $q_{T}^{(k)}$ 。

前馈加误差修正算法先应用目标的帧间旋转，再修正相机与当前目标之间的差异。令：

Δ q_{T} = q_{T}^{(k)} {(q_{T}^{(k - 1)})}^{- 1}

其中 $Δ q_{T}$ 是从上一帧目标旋转到本帧目标旋转的增量。先得到：

q_{k}^{'} = Δ q_{T} q_{k - 1}

再使用追赶算法中的 $c_{k}$ 朝当前目标修正：

q_{k} = slerp (q_{k}^{'}, q_{T}^{(k)}, c_{k})

当目标静止时， $Δ q_{T}$ 为单位四元数，该算法退化为对当前误差进行球面插值；当目标变化时， $Δ q_{T}$ 先改变相机朝向，再由第二次球面插值修正剩余误差。